组合逻辑

逻辑门

主要的逻辑门包括与门(AND)、或门(OR)、非门(NOT)、异或门(XOR)、与非门(NAND)、或非门(NOR)等。

布尔代数

布尔代数的基本运算法则如下：

多路复用器

多路复用器（Multiplexer）可以根据选择信号从多个输入中选择一个输出。

ALU

算术逻辑单元（Arithmetic Logic Unit）是计算机中的一个重要组件，负责执行算术和逻辑运算。

加法器

原理

二进制加法的过程中每一位运算不是独立的。两个数字的当前位的和加上当前产生的进位，产生当前位的和以及下一位的进位。 设$a_i$和$b_i$分别是两个二进制数的第$i$位，$c_i$是当前位产生的进位，那么当前位的和$s_i$和下一位的进位$c_{i+1}$可以表示为：

$$s_i = XOR(a_i, b_i, c_i) = a_i \oplus b_i \oplus c_i$$ $$c_{i+1} = MAJ(a_i, b_i, c_i) = a_i b_i + a_i c_i + b_i c_i$$

电路

一位加法器的电路如下：

将上一位的进位输入到下一位的加法器中，就可以构建多位加法器：

溢出

需要有一种标志表示加法器得到的结果是否溢出(OF)。

溢出只会发生在有符号运算的两种情况下：

• 两个正数相加得到一个负数。此时输入的最高位都是0，但输出的最高位是1。
• 两个负数相加得到一个正数。此时输入的最高位都是1，但输出的最高位是0。

有符号数可能产生溢出的运算情况可以分为下面四种:

加数1	加数2	输出	是否溢出	$c_{n-1}$	$c_n$
正	正	负	是	0	1
正	正	正	否	0	0
负	负	正	是	1	0
负	负	负	否	1	1

由上表看出溢出发生的标志是

$$\text{overflow} = c_{n-1} \oplus c_n$$

即当最高位的进位和次高位的进位不同时发生溢出。

减法器

减法器可以通过加法器来实现。减去一个数等价于加上它的补码。