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浮点数

6 min read Updated:
森林，丁达尔效应

浮点数的表示方法，包括IEEE 754标准等内容。

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UCB CS61C

科学计数法

scientific notation in binary
  • mantissa : 尾数，表示有效数字部分。
  • exponent : 指数。
  • radix(base) : 基数，二进制中为2。

浮点数之所以称为“浮点”，是因为小数点的位置可以根据指数的值而“浮动”。

浮点数表示

单精度浮点数

floating point representation

单精度浮点数使用32位二进制表示，其中1位用于符号，8位用于指数，23位用于尾数。

  • S: 符号位，0表示正数，1表示负数。
  • E: 指数位，使用偏移量表示法（bias），偏移量为127。实际指数值为E - 127。
  • M: 尾数位，表示有效数字部分。实际尾数值为1.M（隐含的1）。

数值计算

(−1)S×1.M×2E−127(-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}

例如 1 10000010 10010100000000000000000

  • 符号位S=1，表示负数。
  • 指数位E=130，实际指数值为130 - 127 = 3。
  • 尾数位M=10010100000000000000000，实际尾数值为1.100101。 因此，数值为-1.100101 * 2^3 = -1100.101（十进制为-12.625）。

溢出与下溢

overflow and underflow
  • 溢出（Overflow）：当计算结果超出浮点数表示范围时发生。例如，单精度浮点数的最大值约为3.438×10383.438 \times 10^{38}，如果计算结果超过这个值，就会发生溢出。这是因为指数部分无法表示更大的数值了。
  • 下溢（Underflow）：当计算结果接近于0但不等于0时发生。例如，单精度浮点数的最小正数约为1.4×10−451.4 \times 10^{-45}，如果计算结果小于这个值，就会发生下溢。这是因为指数部分无法表示更小的数值了。

IEEE 754标准

情况符号位 (S)指数位 (E)尾数位 (M)隐含整数位数值公式
零0 或 1全 0全 0—±0\pm 0
非规格化数0 或 1全 0非全 00(−1)S×0.M×2−126(-1)^S \times 0.M \times 2^{-126}
规格化数0 或 11 到 254任意1(−1)S×1.M×2E−127(-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127}
无穷大0 或 1全 1全 0—±∞\pm \infty
NaN0 或 1全 1非全 0—未定义

非规格化数

产生原因： 最小的规格化数是1.0×2−1261.0 \times 2^{-126}，第二小的规格化数是1.0……1×2−1251.0……1 \times 2^{-125}，两者相差2−1492^{-149}。最小的规格化数与0相差2−1262^{-126}。两个间隔数值上差了2232^{23}倍。为了填补0和最小规格化数之间的空白，IEEE 754引入了非规格化数。

表示方法： 非规格化数的指数部分全为0，尾数部分非全为0。 非规格化数的数值计算公式为：

(−1)S×0.M×2−126(-1)^S \times 0.M \times 2^{-126}

注意−126≠0−127 -126 \neq 0 - 127，虽然非规格化数的指数部分全为0，表示的实际指数值为-126。

结果:

  • 最小的非规格化数为(−1)S×0.00000000000000000000001×2−126=1.4×10−45=(−1)S×2−149(-1)^S \times 0.00000000000000000000001 \times 2^{-126} = 1.4 \times 10^{-45} = (-1)^S \times 2^{-149}。
  • 最大的非规格化数为(−1)S×0.11111111111111111111111×2−126=1.18×10−38(-1)^S \times 0.11111111111111111111111 \times 2^{-126} = 1.18 \times 10^{-38}。与最小的规格化数相差2−1492^{-149}。空隙被均匀填上。

Infinity和NaN

  • Infinity（无穷大）：当指数部分全为1且尾数部分全为0时，表示正无穷大或负无穷大，取决于符号位。
  • NaN（Not a Number）：当指数部分全为1且尾数部分非全为0时，表示未定义的数值，例如0除以0或负数的平方根等操作的结果。
  • 这符合逻辑，超过无穷的数值应该是未定义的。

什么时候整数无法被精确表示？

  • 任何整数都能被表示为有限位的二进制数。因此如果浮点数的尾数位足够多，就可以精确表示任何整数。
  • 但是如果整数的二进制表示超过了尾数位的长度，就无法被精确表示了。例如，单精度浮点数的尾数位为23位，加上隐含的1，因此任何大于2242^{24}的整数都无法被精确表示了。即±16777216\pm 16777216以上的整数无法被精确表示。

示例:

整数范围二进制位数最小间隔能精确表示的整数
2242^{24} 以内≤\leq 24 位1所有整数
224∼2252^{24} \sim 2^{25}25 位2仅偶数
225∼2262^{25} \sim 2^{26}26 位4仅 4 的倍数
226∼2272^{26} \sim 2^{27}27 位8仅 8 的倍数

双精度浮点数

双精度浮点数使用64位二进制表示，其中1位用于符号，11位用于指数，52位用于尾数。