整数的表示

1.进制转换

二进制转十进制

$$1011_{2} = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 11_{10}$$

十进制转二进制

分整数部分和小数部分两步进行：

1. 整数部分：不断除以2，记录余数，直到商为0，然后将余数倒序排列。
2. 小数部分：不断乘以2，记录整数部分，直到小数部分为0或者达到所需的精度。

例子：将10.625转换为二进制。

• 整数部分10：

  $10÷ 2 = 5$，余数0

  $5 ÷ 2 = 2$，余数1

  $2 ÷ 2 = 1$，余数0

  $1 ÷ 2 = 0$，余数1

  整数部分二进制为1010。

• 小数部分0.625：

  $0.625 × 2 = 1.25$，整数部分1

  $0.25 × 2 = 0.5$，整数部分0

  $0.5 × 2 = 1.0$，整数部分1

  小数部分二进制为0.101。

• 最终结果：10.625的二进制表示为1010.101。

二进制用八、十六进制表示

• 八进制：每3位二进制对应1位八进制。例如，二进制1010.101可以分为(001)(010).(101)，对应的八进制为12.5。
• 十六进制：每4位二进制对应1位十六进制。例如，二进制1010.101可以分为(0001)(0100).(1010)，对应的十六进制为14.A。

2.整数的表示

无符号整数

无符号整数使用二进制表示非负整数，范围为0到$2^n - 1$，其中n是二进制位数。

例如uint32_t类型的无符号整数使用32位二进制表示，范围为0到$2^{32} - 1 = 4,294,967,295$。

有符号整数

有符号整数使用二进制表示正数和负数，常见的表示方法有原码、反码和补码。

原码

原码使用最高位表示符号，0表示正数，1表示负数，剩余位表示数值。例如，8位原码表示的范围为-127到127。

原码在处理负数时存在两个零（+0和-0）的问题。而且正数与负数的加减运算需要特殊处理。

反码

反码是原码的基础上将负数的每一位取反得到的表示方法。

反码在处理负数时也存在两个零的问题，并且加减运算仍然需要特殊处理。

补码

补码即按位取反加1，是目前最常用的有符号整数表示方法。

补码的优点是只有一个零（0），并且加减运算可以直接使用二进制加法器进行处理，无需特殊处理。

例子：

$-8$的8位补码表示为：

1. 首先将8的二进制表示为00001000。
2. 然后按位取反得到11110111。
3. 最后加1得到11111000，即-8的补码表示。

补码加减原理:

以8位补码为例：

$$\begin{aligned} -8 + 5 &= -8 + 256 + 5 \quad \text{//8位补码里加256相当于加 }1\,0000\,0000\text{，最高位溢出，值不变} \\ &= -8 + 255 + 1 + 5 \\ &= (1111\,1111 - 0000\,1000 + 0000\,0001) + 0000\,0101 \quad \text{//括号内是 }-8\text{ 的补码（取反+1）} \\ &= 1111\,1000 + 0000\,0101 \\ &= 1111\,1101 \quad \text{//结果是 }-3\text{ 的补码表示} \end{aligned}$$

补码转为原码:

一样取反加1

补码取值范围:

• 对于n位补码，范围是$-2^{n-1}$到$2^{n-1}-1$。
• 例如int32类型的补码表示范围为-2,147,483,648到2,147,483,647。