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蓝天，草地与大树

齐次坐标、Rodrigues 旋转公式、视图变换，以及正交投影与透视投影矩阵的推导

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GAMES 101

齐次坐标

常见的二维仿射变换包括缩放、旋转和平移。缩放和旋转可以写成 2×22\times2 矩阵，平移需要额外加一个向量，两者无法合并成同一次矩阵乘法；齐次坐标在普通坐标后补一个分量，把平移也写进矩阵。二维点记作 (x,y,1)T(x,y,1)^T，二维向量记作 (x,y,0)T(x,y,0)^T，齐次坐标 (x,y,w)T(x,y,w)^T 与 (kx,ky,kw)T(kx,ky,kw)^T 表示同一个位置，其中 k≠0k\neq0；计算结束后除以 ww，得到普通笛卡尔坐标。

二维平移、缩放和旋转分别写成

T(tx,ty)=[10tx01ty001]S(sx,sy)=[sx000sy0001]R(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]\begin{aligned} T(t_x,t_y)&= \begin{bmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\\ S(s_x,s_y)&= \begin{bmatrix} s_x&0&0\\ 0&s_y&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}\\ R(\theta)&= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

其中 R(θ)R(\theta) 表示逆时针旋转 θ\theta。平移量放在第三列：点的 w=1w=1，平移会改变点的位置；向量的 w=0w=0，平移不改变向量。两个点相加得到 w=2w=2，除以 ww 后是中点；点减点得到 w=0w=0，结果是向量。

多个变换按矩阵乘法组合。p′=TRSpp'=TRSp 表示先缩放、再旋转、再平移；矩阵乘法从右往左作用，交换顺序会得到不同的结果。三维情形使用 4×44\times4 矩阵，点记作 (x,y,z,1)T(x,y,z,1)^T，向量记作 (x,y,z,0)T(x,y,z,0)^T，平移量位于第四列，旋转是左上角的 3×33\times3 块。透视投影会用到 w≠1w\neq1 的齐次坐标：投影矩阵把 ww 写成视深的函数，除法把远处点的横向坐标压小。

三维旋转

绕单位轴 n^\hat n 旋转角度 θ\theta 的变换可以用一个矩阵表示，这个矩阵称为 Rodrigues 旋转矩阵。把向量 vv 分解为平行于轴的分量 v∥v_\parallel 和垂直于轴的分量 v⊥v_\perp：

v∥=(n^⋅v)n^,v⊥=v−v∥v_\parallel=(\hat n\cdot v)\hat n,\qquad v_\perp=v-v_\parallel

旋转时 v∥v_\parallel 保持不变，v⊥v_\perp 在垂直于 n^\hat n 的平面内转动。转动后的垂直分量为

v⊥′=cos⁡θ v⊥+sin⁡θ (n^×v)v_\perp'=\cos\theta\,v_\perp+\sin\theta\,(\hat n\times v)

其中 n^×v=n^×v⊥\hat n\times v=\hat n\times v_\perp，它的长度等于 ∣v⊥∣|v_\perp|，方向由右手定则确定。把两个分量相加，得到

v′=v∥+cos⁡θ v⊥+sin⁡θ (n^×v)v'=v_\parallel+\cos\theta\,v_\perp+\sin\theta\,(\hat n\times v)

代入 v∥=(n^⋅v)n^=n^n^Tvv_\parallel=(\hat n\cdot v)\hat n=\hat n\hat n^Tv 和 v⊥=(I−n^n^T)vv_\perp=(I-\hat n\hat n^T)v，整理成矩阵形式：

v′=(cos⁡θ I+(1−cos⁡θ)n^n^T+sin⁡θ [n^]×)vv'=\left(\cos\theta\,I+(1-\cos\theta)\hat n\hat n^T+\sin\theta\,[\hat n]_\times\right)v

其中 [n^]×[\hat n]_\times 是叉乘对应的反对称矩阵：

[n^]×=[0−n^zn^yn^z0−n^x−n^yn^x0][\hat n]_\times= \begin{bmatrix} 0&-\hat n_z&\hat n_y\\ \hat n_z&0&-\hat n_x\\ -\hat n_y&\hat n_x&0 \end{bmatrix}

它满足 [n^]×v=n^×v[\hat n]_\times v=\hat n\times v。于是

R(n^,θ)=cos⁡θ I+(1−cos⁡θ)n^n^T+sin⁡θ [n^]×R(\hat n,\theta)=\cos\theta\,I+(1-\cos\theta)\hat n\hat n^T+\sin\theta\,[\hat n]_\times

取 n^=(0,0,1)\hat n=(0,0,1) 时，RR 退化为二维旋转矩阵的 3×33\times3 形式；取 θ=0\theta=0 时，R=IR=I。

视图变换

视图变换把世界坐标中的点变换到相机坐标，使相机位于原点、看向 −Z-Z、上方向为 +Y+Y。相机由位置 ee、看向方向 gg、上方向 tt 确定。

相机的位置、朝向与上方向

直接写世界坐标到相机坐标的矩阵并不方便，平移和三个轴的旋转混在一起，矩阵元素不容易直接看出。相机坐标到世界坐标的矩阵可以直接由相机的位置和三个轴写出；先写这个方向的矩阵，再求逆，就得到视图变换。

相机基向量

相机坐标系的三个轴在世界坐标中表示为

w^=−g∣g∣,u^=g×t∣g×t∣,v^=w^×u^\hat w=-\frac{g}{|g|},\qquad \hat u=\frac{g\times t}{|g\times t|},\qquad \hat v=\hat w\times\hat u

w^\hat w 指向相机后方，因为相机看向 −Z-Z；u^\hat u 指向相机右方；v^\hat v 指向相机上方。u^\hat u 由 g×tg\times t 得到，因此 u^\hat u 与 gg 垂直；v^\hat v 再由 w^×u^\hat w\times\hat u 得到，三个轴构成右手正交基。当 gg 与 tt 平行时，g×t=0g\times t=0，相机姿态退化，需要换一个上方向。

先写相机到世界

相机坐标中的点 (xc,yc,zc)(x_c,y_c,z_c) 在世界坐标中表示为

p=e+xcu^+ycv^+zcw^p=e+x_c\hat u+y_c\hat v+z_c\hat w

写成齐次矩阵：

Mc2w=[u^xv^xw^xexu^yv^yw^yeyu^zv^zw^zez0001]M_{c2w}= \begin{bmatrix} \hat u_x&\hat v_x&\hat w_x&e_x\\ \hat u_y&\hat v_y&\hat w_y&e_y\\ \hat u_z&\hat v_z&\hat w_z&e_z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

矩阵的前三列是相机三个轴在世界坐标中的方向，第四列是相机位置。

求逆得到视图矩阵

视图变换需要反方向的矩阵，对 Mc2wM_{c2w} 求逆。三个轴两两垂直且长度为 1，所以 R=[u^ v^ w^]R=[\hat u\ \hat v\ \hat w] 是正交矩阵，满足 RTR=IR^TR=I，因此 R−1=RTR^{-1}=R^T。对分块矩阵

[Re01]−1=[RT−RTe01]\begin{bmatrix}R&e\\0&1\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}R^T&-R^Te\\0&1\end{bmatrix}

得到

Mview=[u^xu^yu^z−u^⋅ev^xv^yv^z−v^⋅ew^xw^yw^z−w^⋅e0001]M_{view}= \begin{bmatrix} \hat u_x&\hat u_y&\hat u_z&-\hat u\cdot e\\ \hat v_x&\hat v_y&\hat v_z&-\hat v\cdot e\\ \hat w_x&\hat w_y&\hat w_z&-\hat w\cdot e\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

这个矩阵等价于先用 T(−e)T(-e) 把相机移到原点，再用 RTR^T 旋转坐标轴。平移项是 −u^⋅e-\hat u\cdot e 这样的点积，不能直接把 ee 的分量取负。

验证

把相机位置 ee 代入，得到 (0,0,0)T(0,0,0)^T。把 e+ge+g 代入，旋转部分得到 −w^=(0,0,−1)T-\hat w=(0,0,-1)^T，说明视线方向映射到相机坐标的 −Z-Z；把 e+te+t 代入，若 tt 与 gg 垂直，结果为 (0,1,0)T(0,1,0)^T，说明上方向映射到 +Y+Y。

正交投影

投影变换把相机空间中的可视区域映射到归一化设备坐标（NDC），NDC 的范围是 [−1,1]3[-1,1]^3。正交投影的视锥体是长方体，平行线投影后仍然平行，物体的大小不随距离改变；透视投影的视锥体是棱锥台，平行线在投影后可能相交，远处的物体看起来更小。棱锥台是棱锥被平行于底面的平面截去顶部后剩下的部分。

透视投影与正交投影的视锥体

相机看向 −Z-Z，近平面位于 z=−nz=-n，远平面位于 z=−fz=-f，其中 n,f>0n,f>0 且 f>nf>n。长方体的左右、下上边界分别为 l,r,b,tl,r,b,t，因此 x∈[l,r]x\in[l,r]，y∈[b,t]y\in[b,t]，z∈[−f,−n]z\in[-f,-n]。

正交变换：先平移，再缩放

正交投影分两步：先把长方体中心平移到原点，再沿三个轴缩放到 [−1,1][-1,1]。中心为

c=(l+r2,b+t2,−n+f2)c=\left(\frac{l+r}{2},\frac{b+t}{2},-\frac{n+f}{2}\right)

平移矩阵为 T(−c)T(-c)，缩放因子为

sx=2r−lsy=2t−bsz=2n−f\begin{aligned} s_x&=\frac{2}{r-l}\\ s_y&=\frac{2}{t-b}\\ s_z&=\frac{2}{n-f} \end{aligned}

szs_z 的分母 n−fn-f 是负数，因此 zz 轴在映射时翻转。组合得到

Mortho=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b002n−fn+fn−f0001]M_{ortho}= \begin{bmatrix} \dfrac{2}{r-l}&0&0&-\dfrac{r+l}{r-l}\\ 0&\dfrac{2}{t-b}&0&-\dfrac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\dfrac{2}{n-f}&\dfrac{n+f}{n-f}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

代入 x=rx=r 得到 11，代入 x=lx=l 得到 −1-1；代入 z=−nz=-n 得到 −1-1，代入 z=−fz=-f 得到 11。近平面映射到 −1-1，远平面映射到 +1+1，这个约定会沿用到透视投影。

透视投影

透视投影的视锥体是一个棱锥台。近平面位于 z=−nz=-n，远平面位于 z=−fz=-f，近平面是 x,y∈[−n,n]x,y\in[-n,n] 的正方形，对应 90∘90^\circ 的视场角。视场角是相机在垂直方向上能看到的张角；视锥体内的点沿穿过相机的射线投影到近平面，近平面上的点保持不动，远平面上的点被缩放到近平面的大小。

透视投影把视锥体压成长方体

目标是把视锥体映射到 [−1,1]3[-1,1]^3，近平面映射到 z=−1z=-1，远平面映射到 z=+1z=+1。整个过程分成两步：先把视锥体挤压成长方体，近平面和远平面的 zz 坐标保持不变；再用正交矩阵把长方体映射到 [−1,1]3[-1,1]^3。

第一步：挤压视锥体

设视锥体内一点为 (x,y,z)(x,y,z)，其中 z<0z<0。穿过该点和相机的射线与近平面交于

xp=n−zxyp=n−zy\begin{aligned} x_p&=\frac{n}{-z}x\\ y_p&=\frac{n}{-z}y \end{aligned} 相似三角形给出近平面上的投影坐标

图中 zz 标为正距离；本文的相机坐标中 z<0z<0，所以分母写成 −z-z。挤压把点映射到 (xp,yp,zsq)(x_p,y_p,z_{sq})：横向坐标乘以 n/(−z)n/(-z)，纵向坐标同理；zsqz_{sq} 只要求近平面和远平面上的 zz 坐标保持不变。

用齐次坐标表示，令 w=−zw=-z。ww 是正数，远处的点 ww 更大，除以 ww 后横向坐标更小。挤压矩阵的前两行给出 xclip=nxx_{clip}=nx、yclip=nyy_{clip}=ny，第四行为 [0,0,−1,0][0,0,-1,0]；设第三行为 [0,0,A,B][0,0,A,B]，则

zsq=Az+B−zz_{sq}=\frac{Az+B}{-z}

近平面 z=−nz=-n 挤压后仍为 −n-n，远平面 z=−fz=-f 挤压后仍为 −f-f，代入得到

−An+Bn=−n−Af+Bf=−f\begin{aligned} \frac{-An+B}{n}&=-n\\ \frac{-Af+B}{f}&=-f \end{aligned}

两式分别化为 −An+B=−n2-An+B=-n^2 和 −Af+B=−f2-Af+B=-f^2。相减得 A(n−f)=n2−f2A(n-f)=n^2-f^2，因此 A=n+fA=n+f；回代得 B=nfB=nf。挤压矩阵为

Msquish=[n0000n0000n+fnf00−10]M_{squish}= \begin{bmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&nf\\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix}

这里只固定了近平面和远平面的 zz，内部点的 zz 会被第三行重新映射。挤压后的形状是 x,y∈[−n,n]x,y\in[-n,n]、z∈[−f,−n]z\in[-f,-n] 的长方体。

第二步：正交映射

对上一步得到的长方体套用正交矩阵，取 l=b=−nl=b=-n、r=t=nr=t=n：

Mortho=[1n00001n00002n−fn+fn−f0001]M_{ortho}= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{n}&0&0&0\\ 0&\dfrac{1}{n}&0&0\\ 0&0&\dfrac{2}{n-f}&\dfrac{n+f}{n-f}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

它的 zz 行把 [−f,−n][-f,-n] 映射到 [−1,1][-1,1]：

zndc=2n−fzsq+n+fn−fz_{ndc}=\frac{2}{n-f}z_{sq}+\frac{n+f}{n-f}

代入 zsq=−nz_{sq}=-n 得到 −1-1，代入 zsq=−fz_{sq}=-f 得到 +1+1。2/(n−f)2/(n-f) 是负数，zz 轴在这里翻转。

第三步：合并矩阵

透视矩阵是两步矩阵的乘积：

Mpersp=MorthoMsquishM_{persp}=M_{ortho}M_{squish}

合并时，MorthoM_{ortho} 的平移项乘的是挤压后的 w=−zw=-z，不能当作常数 11。因此 zz 分量为

zclip=2n−f((n+f)z+nf)+n+fn−f(−z)=(n+f)z+2nfn−fz_{clip} =\frac{2}{n-f}\bigl((n+f)z+nf\bigr) +\frac{n+f}{n-f}(-z) =\frac{(n+f)z+2nf}{n-f}

除以 w=−zw=-z 后得到

zndc=(n+f)z+2nf(n−f)(−z)z_{ndc} =\frac{(n+f)z+2nf}{(n-f)(-z)}

MorthoM_{ortho} 的最后一行是 [0,0,0,1][0,0,0,1]，ww 在矩阵乘法中原样保留。因此“先乘两个矩阵、再统一除以 ww”与“先除以 ww 得到 zsqz_{sq}、再做正交映射”结果相同。

横向坐标的 nn 在合并时约掉：挤压给出 xclip=nxx_{clip}=nx，正交矩阵的 xx 缩放是 1/n1/n，最终 xclip=xx_{clip}=x。除以 w=−zw=-z 后，xndc=x/(−z)x_{ndc}=x/(-z)；近平面上的 x∈[−n,n]x\in[-n,n] 因此落到 [−1,1][-1,1]。合并后的矩阵为

Mpersp=[1000010000−f+nf−n−2nff−n00−10]M_{persp}= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-\dfrac{f+n}{f-n}&-\dfrac{2nf}{f-n}\\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix}

代入近平面上的点 (x,y,−n,1)(x,y,-n,1)，得到 (x,y,−n,n)(x,y,-n,n)，除以 w=nw=n 后为 (x/n,y/n,−1)(x/n,y/n,-1)。代入远平面上的点 (x,y,−f,1)(x,y,-f,1)，第三行给出 zclip=fz_{clip}=f，除以 w=fw=f 后为 zndc=1z_{ndc}=1。

一般形式

当近平面是 x∈[l,r]x\in[l,r]、y∈[b,t]y\in[b,t] 的矩形时，挤压矩阵的横向缩放仍是 nn，正交矩阵的横向缩放变为 2/(r−l)2/(r-l) 和 2/(t−b)2/(t-b)。合并后得到

Mpersp=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000−f+nf−n−2nff−n00−10]M_{persp}= \begin{bmatrix} \dfrac{2n}{r-l}&0&\dfrac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\dfrac{2n}{t-b}&\dfrac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&-\dfrac{f+n}{f-n}&-\dfrac{2nf}{f-n}\\ 0&0&-1&0 \end{bmatrix}

第一、二行的第三列来自正交矩阵的平移项与 w=−zw=-z 的乘积，用来处理近平面中心不在原点的情况。设垂直视场角为 α\alpha，宽高比为 aa，则 t=ntan⁡(α/2)t=n\tan(\alpha/2)、r=atr=at、b=−tb=-t、l=−rl=-r；代入后可以得到用视场角和宽高比表示的投影矩阵。

变换管线

渲染管线把模型坐标依次变换到世界坐标、相机坐标、裁剪空间：

pclip=MperspMviewMmodelpmodelp_{clip}=M_{persp}M_{view}M_{model}p_{model}

矩阵乘法从右往左作用：MmodelM_{model} 把模型坐标变换到世界坐标，MviewM_{view} 把世界坐标变换到相机坐标，MperspM_{persp} 把视锥体映射到裁剪空间。裁剪空间仍然是齐次坐标，再除以 ww 得到 NDC；视口变换再把 NDC 映射到屏幕像素坐标。